Sistemes linials i no linials


Un dels conceptes àmpliament utilitzats en el camp de l'audiologia és el de linialitat. El sistema auditiu pot ser considerat com una sèrie d'etapes en les què la sortida d'una etapa és l'entrada a la següent. Cada una de les etapes pot considerar-se com un sistema amb una entrada i una sortida. D'aquests sistemes alguns es comporten com sistemes linials i altres com sistemes no linials.

 

 

Un sistema linial és aquell en el que l'entrada canvia en un factor k llavors l'amplitud de sortida també canvia en el mateix factor k o no canvia, a aquesta condició se l'anomena homogeneïtat. A més, en els sistemes linials es compleix què si processem dos o més senyals simultàniament la sortida és igual a la suma de les sortides dels senyals processats independentment, a aquesta condició de la denomina superposició

 

 

Des de el punt de vista de l'amplitut un sistema linial és aquell en el què l'amplitut de sortida varia en proporció a la d'entrada. Si representem l'amplitut de sortida en funció de l'amplitut d'entrada (corbes d'entrada i sortida) en un sistema linial obtindrem una línia recta què passa pel 0. Per tant, podem dir què un sistema linial es compleix què Y(t) = k x X(t), essent X(t) l'entrada del sistema, Y(t) la sortida i k una constant.

 

 

Des de el punt de vista de la freqüència, en un sistema linial els components en freqüència de la sortida són aquells continguts a l'entrada, és a dir, un sistema linial no genera nous components en freqüència. Per exemple, els filtres vistos en el tema anterior són sistemes linials. En la imatge es mostra un filtre de passa baixa, un filtre atenua (o inclús pot arribar a el·liminar) components en freqüència però no introdueix noves, per tant és un sistema linial.

 

 

Si introduïm una funció sinusoïdal en un sistema linial, la sortida és una altre sinusoïde amb la mateixa freqüència (en un sistema linial no és generen noves freqüències). No obstant, l'amplitut i la fase poden variar. Aquest és el motiu pel qual en audició s'utilitzen sovint ones sinusoïdals, les ones sinusoïdes són les úniques ones les quals canvien la seva forma al passar per un sistema linial.

 

 

En canvi si introduïm una funció què no sigui sinusoïdal en un sistema linial, la sortida no té perquè tenir la mateixa forma d'ona què la d'entrada. Per exemple, si introduïm una ona quadrada la sortida no té perquè ser una altre de quadrada. No obstant, en els sistemes linials la sortida per a una ona complexa és relativament fàcil de predir, només cal descomposar l'ona complexa en els seus corresponents components sinusoïdals (mitjançant una trensformada de Fourier). Veure quina és la sortida per a cada un dels components sinusoïdals i per el principi de superposició la sortida per a l'ona complexa serà la suma de les sortides dels components sinusoïdals.   

 

 

Els sistemes no linials són aquells en els quals l'entrada no és proporcional a la sortida. Les corbes d'entrada i sortida no són linies rectes que passen per l'origen, la resposta del sistema depèn de l'amplitut del senyal d'entrada. En la imatge es mostren les corbes d'entrada i sortida de dos sistemes no linials, a baixes amplituts d'entrada la sortida és proporcional a l'entrada i a altes amplituts d'entrada la sortida es manté constant, és a dir, la resposta del sistema varia en funció de l'amplitut d'entrada.

 

 

Des del punt de vista de la freqüència, un sistema no linial és aquell què introdueix noves components de freqüència. Per exemple, si introduïm una funció sinusoïdal els nous components en freqüència seràn els harmònics de la funció d'entrada.

 

 

Per exemple, una pantalla acústica de les què vam veure en el tema anterior és un sistema no linial, es comporta com un filtre passa baixa per a totes les freqüències del so. En canvi, si aconseguíssim construïr una pantalla acústica que es comportès com un filtre passa baixa per a baixes freqüències i com a filtre passa alta per a altes freqüències, llavors la seva resposta dependría de l'intensitat d'entrada i seria un sistema linial. 

Un altaveu és un dispositiu què transforma el voltatge d'entrada en vibració d'una membrana, aquesta vibració de la membrana és la què produeix el so. A baixes intensitats la vibració de la membrana és proporcional a l'intensitat del voltatge d'entrada, per exemple si el voltatge varia sonusoïdalment llavors la membrana vibra sinusoïdalment, és a dir, l'altaveu es comporta com un sistema linial. Però si el voltatge incrementa molt la seva intensitat arriba un moment en el que la membrana no pot vibrar més ràpid i la sortida deixa de ser proporcional a l'entrada, és a dir, a altes intensitats un altaveu es comporta com un sistema no linial.  

Dins l'audiologia els sistemes no linials són molt importants, la còclea, el nervi auditiu i la cèl·lula ciliada interna es comporten com sistemes no linials. 

 

En la imatge podem veure corbes d'entrada i sortida d'un sistema linial representant l'amplitut de sortida en funció de l'amplitut d'entrada.

 

 

Si representem les corbes d'entrada i sortida en escala logarítmica per a un sistema linial s'obté una recta de pendent 1. Això és per que per a un sistema linial la sortida és proporcional a l'entrada, llavors Y(t) = k x X(t), a on k és una constant.

 

Si prenem logaritmes: log10 (Y(t)) = log10 (k x X(t))   

 

Per les propietats dels logaritmes: log10(Y(t)) = log10(k) + log10(X(t)). (1)

 

L'equació (1) representa una recta de pendent 1.

 

Les corbes d'entrada i sortida en escala logarítmica per a sistemes no linials tenen pendents diferents de 1. Si el pendent és major què 1 es diu què el sistema és expansiu i si és menor què 1 compressiu

 

 

Per a representar les corbes d'entrada i sortida en format logarítmic per a sistemes el valors d'amplitut instantanis dels quals prenen valors positius i negatius, com no és possible prendre logaritmes de valors negatius, en comptes dels valors instantanis d'amplitut es calcula el valor RMS de les amplituts d'entrada i sortida.

 

- RMS (Root of the Mean of the Squared): és igual a l'arrel de la suma dels quadrats de les amplituts dividit per el nombre total d'amplituts. El valor RMS per a una ona sinusoïdal és igual a la màxima amplitut dividida per l'arrel quadrada de 2.

 

 

Els sistemes no linials generen distorsions, és a dir, introdueixen nous components en freqüència a la sortida els quals no hi eren presents a l'entrada.

 

- DISTORSIÓ PER HARMÒNICS: si introduïm un to pur d'una determinada freqüència (f) en un sistema no linial, a la sortida obtindrem un senyal què no és un to pur. El senyal de sortida serà un senyal periòdic amb la mateixa periodicitat què el senyal d'entrada què pot ser expressat com la suma d'una component fonamental de freqüència igual a la freqüència del senyal (f) d'entrada més una sèrie d'harmònics (2f,3f,4fA ...). La suma de les amplituts dels harmònics segon i superiors expressada com un percentatge de l'amplitut de l'harmònic fonamental medeix la distorsió per harmònics generada pel sistema.

 

 

Per exemple es pot escoltar un to pur de 200 Hz i el mateix to pur distorsionat per la presència d'harmònics de freqüències 400, 600 i 800 Hz. Aquests exemples han estat creats utilitzant el programa ESynth què és un software de distribució gratuïta.

 

L'exemple que es mostra a continuació ens ensenya la distorsió per harmònics introduïda per un sistema no linial la corba d'entrada i sortida del qual (gràfica taronja) es descriu per l'equació de la part dreta.

 

Les gràfiques en verd mostren l'entrada del sistema: funció sinusoïdal de freqüència 1000 Hz. Les gràfiques en morat mostren la sortida del sistema no linial compressiu, la funció deixa de ser sinusoïdal i apareixen nous harmònics els quals no hi eren en el senyal d'entrada. La gràfica en taronja mostra les funcions d'entrada i sortida del sistema en escala linial (esquerra) i logarítmica (dreta) comparades amb la funció d'entrada sortida d'un sistema linial, s'observa què el sistema és compressiu. Aquest tipus de distorsió per harmònics s'observa en la membrana basilar del sistema auditiu.

 

 

- DISTORSIÓ PER PRODUCTES COMBINATS: Si introduïm dos tons purs de freqüència f1 i f2 en un sistema no linial, a més de la distorsió per harmònics generada per a cada to (2f1, 3f1A ..., 2f2, 2f2A ...) apareixen components en freqüències generades per la interacció no linial entre els dos tons. Les freqüències generades són combinacions de les freqüències dels tons originals (f1 + f2, f1 - f2, 2f1 + f2, 2f1 - f2, 2f2 - f1 , etc.). A aquests es denominen productes de distorsió.

 

En l'exemple que hi ha a continuació podem veure dos tons purs de 1000 i 1200 Hz. Els dos tons purs distorsionats per productes combinats 1200 -1000, 2x1000 - 1200, 1000 + 1200. Aquests han estat generats pel programa ESynth.

 

 

La distorsió per productes combinats s'observa freqüentment en l'investigació audiològica i indica la presència de no linialitats en el sistema auditiu. Per exemple, pot passar què si estimulem el sistema auditiu amb dos tons simultàniament (f1 i f2 amb f2>f1), es pot escoltar productes combinats els quals no es troben físicament presents en l'estímul d'entrada de freqüències f2 - f1, (n+1)f1-nf2 o (n+1)f2-nf1 amb n = 1,2,3A ... De tots els possibles productes combinats els de major amplitut són: f2 - f1 i 2f2 - f1.

 

 

L'exemple què veiem a continuació, mostra la distorsió per productes combinats generats per un sistema no linial la corba d'entrada i sortida del qual (gràfica en taronja) es descriu per l'equació de la dreta.

 

L'entrada al sistema són dos tons purs de freqüències 2000 i 2500, a la sortida del sistema es poden veure productes combinats de freqüències: f2 - f1 = 500, 2f1 - f2 = 1500, 2f2 - f1 = 3000, 3f1 - 2f2 = 1000, 3f2 - 2f1 = 3500.

 

 

- SUPRESSIÓ EN SISTEMES NO LINIALS: pot passar què quan presentem dos tons purs de diferents freqüències a un sistema no linial la resposta del primer to és redueixi o inclús és suprimeixi degut a la presència del segon to, a aquest efecte se l'anomena supressió per dos tons.

 

En la imatge es mostra un exemple d'un sistema no linial en el que es produeix supressió. El sistema es troba format per dues etapes. L'etapa 1 és no linial (com la utilitzada en exemples anteriors) i un filtre de passa banda sintonitzat a 1000 Hz. A la figura A l'entrada al sistema és un to pur de freqüència 1000 Hz i amplitut 20 dB. La sortida és un to pur de la mateixa freqüència (el filtre de passa banda ha el·liminat la distorsió per harmònics i els possibles productes combinats) i de 4.5 dB d'amplitut. En la figura B l'entrada és un senyal format per la suma de dos tons purs, un de freqüència 1000 Hz i 20 dB d'amplitut (igual al de la figura A), i altre de 1500 Hz i 20 dB. La sortida al sistema és un to pur de freqüència 1000 Hz (en aquest cas el filtre passa banda ha el·liminat a més de la distorsió per harmònics i per productes combinats, el component de 1500 Hz) i d'amplitut 3 dB. L'amplitut de sortida en la figura B és menor què en la figura A, això és per que la presència del to de 1500 Hz ha fet disminuïr l'amplitut de sortida del to de 1000 Hz.

 


Bibliografia